Dziewica nieskierowana
Inne nazwy owo dziewica powierzchniowa funkcji skalarnej a dziewica powierzchniowa pierwszego rodzaju.
Definicja
Niech odwzorowanie f(x, y, spośród) będzie określona dodatkowo ciągła na powierzchni S. Na krzyż D oznaczamy projekcja powierzchni S na płaszczyznę XY. Dzielimy D na podobszary Deltadelta_{1}, Deltadelta_{2}, …, Deltadelta_{n}, dokąd Deltadelta_{dodatkowo} cap Deltadelta_{j}=empty gwoli każdego inot=j. Na krzyż |Deltadelta_{dodatkowo}| oznaczamy aspekt Deltadelta_{a}, i na krzyż T oznaczamy ów sprecyzowany rozbiór.
Oznaczamy Delta S_{a} tę frakcja powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest Deltadelta_{dodatkowo}. Na każdym Delta S_{dodatkowo} obieramy jakikolwiek lokalizacja P_i(x_i, y_i, z_i). Rzutem P_i na XY jest (x_{dodatkowo}, y_{dodatkowo})inDeltadelta_{dodatkowo}.
Tworzymy sumę q(T) = sum_{dodatkowo=1}^n f(P_{a})|Delta S_{dodatkowo}|. Rozpatrujemy taki cykl tych podziałów T, aby największa ze średnic Delta S_{dodatkowo} dążyła aż do zera. Gdyby na rzecz każdego takiego ciągu podziałów a na rzecz swobodnie wybranych punktów pośrednich P_i sekwencja sum q(T) dąży aż do tej samej granicy, owo granicę tę oznaczamy symbolem
iintlimits_{S}f(x, y, spośród);dS
dodatkowo nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.
Omen dS owo różniczka pola płata.
Obliczanie
Plaster ustalony publicznie
Gdyby plaster ustalony równaniem spośród = varphi(x, y), dokąd przeznaczenie varphi(x, y) jest klasy C1 w D, owo
iintlimits_{S}f(x, y, spośród);dS = iintlimits_{D}fbig(x, y, varphi(x, y)big)sqrt{1+left(frac{partialvarphi}{partial x}right)^2+left(frac{partialvarphi}{partial y}right)^2};dx;dy.
Plaster ustalony parametrycznie
Niech plaster ustalony jest równaniami x = x(obok, v), y = y(obok, v), spośród = spośród(obok, v) a poza tym zachodzą następujące warun
- funkcje x(obok, v), y(obok, v), spośród(obok, v) są klasy C1 w D;
- D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
- różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
- wyrażenie H = begin{vmatrix}
x_{u} & y_{u} x_{v} & y_{v} end{vmatrix}^2 + begin{vmatrix} y_{u} & z_{u} y_{v} & z_{v} end{vmatrix}^2 + begin{vmatrix} z_{u} & x_{u} z_{v} & x_{v} end{vmatrix}^2 jest różne od zera wewnątrz D. Wtedy
iintlimits_{S}f(x, y, z);dS = iintlimits_{D}fbig(x(u,v), y(u,v), z(u,v)big)sqrt{H};du;dv.
Uwaga. Wyrażenie H jest sumą kwadratów minorów macierzy jakobianowej frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u} x_{v} & y_{v} & z_{v} end{bmatrix}.
Przykłady zastosowania
Jeżeli funkcja f(x,y,z) wyraża gęstość materialnego płata S w punkcie (x,y,z), to masa całego tego płata jest równa iintlimits_{S}f(x,y,z)dS.
Pole powierzchni płata S jest równe iintlimits_{S}dS.
Całka skierowana
Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.
Definicja
Niech funkcja mathbf{F}(x, y, z) = left[ X(x, y, z), Y(x, y, z), Z(x, y, z) right] będzie określona i ciągła na powierzchni zorientowanej S.
Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.
D dzielimy na podobszary Deltadelta_{1}, Deltadelta_{2}, …, Deltadelta_{n}, takie że Deltadelta_{i} cap Deltadelta_{j}=empty dla każdego inot=j. Poprzez T oznaczamy ten konkretny podział. Przez Delta S_{i} oznaczamy tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest Deltadelta_{i}, a przez |Delta S_{i}| oznaczamy pole powierzchni Delta S_{i}.
Na każdym Delta S_{i} obieramy dowolny punkt Pi=(xi, yi, zi). Rzutem Pi na XY jest (x_{i}, y_{i})inDeltadelta_{i}.
Tworzymy sumę q(T) = sum_{i=1}^n F_{N}(P_{i})|Delta S_{i}|, gdzie FN jest składową wektora F normalną do Delta S_{i}.
Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów T, żeby największa ze średnic Delta S_{i} dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich P_i ciąg sum q(T) dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem
iintlimits_{S} mathbf{F}(x, y, z) mathbf{;dS} = iintlimits_{S} F_{N}(x, y, z);dS=
= iintlimits_{S} Fcos(mathbf{F},mathbf{N});dS = iintlimits_{S} (Xcosalpha + Ycosbeta + Zcosgamma);dS = iintlimits_{S} left(X;dy;dz + Y;dz;dx + Z;dx;dyright)
i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną.
Znak dS = [dydz, dzdx, dxdy] = [cos α, cos β, cos γ]dS to wektorowa różniczka płata.
Obliczanie
Płat dany jawnie
Niech płat jest zadany równaniem z = varphi(x, y), gdzie funkcja varphi jest klasy C1 w D. I niech N=[-φx, -φy, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ. Wtedy
iintlimits_{S}mathbf{F}(x, y, z) mathbf{;dS} = varepsiloniintlimits_{D}mathbf{F}(x, y, varphi(x, y)) mathbf{N} ;dx;dy =
= varepsiloniintlimits_{D}Big(- Xleft(x, y, varphi(x, y)right)varphi_{x} – Yleft(x, y, varphi(x, y)right)varphi_{Y} + Z(x, y, varphi(x, y))Big);dx;dy,
gdzie varepsilon = +1, jeśli płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ, i varepsilon = -1, jeśli jest zorientowany przeciwnie.
Płat dany parametrycznie
Niech płat dany jest równaniami x = x(u, v), y = y(u, v),
z = z(u, v), gdzie wszystkie te funkcje są klasy C1 w D. I niech ponadto zachodzą następujące warun
- D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
- różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
- wyrażenie H = |mathbf{h}|^{2} = begin{vmatrix}
x_{u} & y_{u} x_{v} & y_{v} end{vmatrix}^2 + begin{vmatrix} y_{u} & z_{u} y_{v} & z_{v} end{vmatrix}^2 + begin{vmatrix} z_{u} & x_{u} z_{v} & x_{v} end{vmatrix}^2 jest różne od zera wewnątrz D (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=begin{bmatrix} x_{u} & y_{u} & z_{u} x_{v} & y_{v} & z_{v} end{bmatrix}).
Wte
iintlimits_{S} mathbf{F}(x, y, z) mathbf{;dS} = varepsiloniintlimits_{D} mathbf{F}(x, y, z) cdot mathbf{h};du;dv,
gdzie
mathbf{h} = [x_u, y_u, z_u] times [x_v, y_v, z_v] = bigg[begin{vmatrix}
y_{u} & z_{u} y_{v} & z_{v} end{vmatrix}, begin{vmatrix} z_{u} & x_{u} z_{v} & x_{v} end{vmatrix}, begin{vmatrix} x_{u} & y_{u} x_{v} & y_{v} end{vmatrix}bigg]. Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:
varepsiloniintlimits_{D} mathbf{F}(x, y, z) cdot mathbf{h};du;dv = varepsiloniintlimits_{D} begin{vmatrix}
X & Y & Z x_{u} & y_{u} & z_{u} x_{v} & y_{v} & z_{v} end{vmatrix};du;dv. Tu varepsilon=+1, gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h; varepsilon=-1, gdy jest zorientowany przeciwnie.
Dane 3 rzuty
Jeśli płat S można opisać wzorami x = x(y, z), y = y(z, x), z = z(x, y), gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach Syz, Szx, Sxy, będących rzutami S odpowiednio na OYZ, OZX, OXY, to
iintlimits_{S}mathbf{F}(x, y, z) mathbf{;dS} = iintlimits_{S} left(X;dy;dz + Y;dz;dx + Z;dx;dyright) =
= varepsilon_xiintlimits_{S_{yz X(x(y, z), y, z);dy;dz ;+; varepsilon_yiintlimits_{S_{zx Y(x, y(z, x), z);dx;dz ;+; varepsilon_ziintlimits_{S_{xy Z(x, y, z(x, y));dx;dy.
εx=+1, εy=+1, εz=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. εx*εz=+1 ⇔ zx
- Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
- Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
- Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.
Przykłady
Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.
telecomcheck 